Методика вивчення дій множення і ділення

Множення

 Вже з початкової школи учні знають, що множенням натуральних чисел називають додавання однакових доданків.
 На етапі повторення важливо, щоб учні після розв'язування певної кількості прикладів змогли виконати узагальнення і сформулювати означення для двох чисел a і b у вигляді:
 Помножити число a на число b означає знайти суму b доданків, кожний з яких дорівнює a.

 Доцільно звернути увагу учнів на те, що це означення поширюється лише на випадки натурального числа b, відмінного від 1. За спеціальною домовленістю, а*1 = 1*а = а та а*0 = 0*а = 0.

 У системі вправ варто передбачити як прямі завдання (записати у вигляді добутку суму), так і оберенені (записати у вигляді суми добуток).

Для закріплення і більшого усвідомлення означення дії множення слушними є такі запитання:

1. Чи будь-яке додавання можна замінити множенням? (Ні. Коли не всі доданки однакові, зробити це неможна.)
2. Чи будь-яке множення можна замінити додаванням? (Ні. Лише таке, коли множник відмінний від 1 і 0.)

 Множення одиниці на натуральне число а (1*а = а) і нуля на число а (0*а) обгрунтовують, виходячи з означення дії множення.

 Під час розв'язування вправ на множення багатоцифрових натуральних чисел стовпчиком варто звернути увагу учнів на таке:

• Чому в цьому прикладі при множенні на 3 записали добуток 981, змістивши всі цифри на один розряд ліворуч? (Очікувана відпо­відь: оскільки множення виконувалось на 3 десятки, а при зміщенні цифри на одне місце ліворуч її значення збільшується в 10 разів.)
• Чи правильно ми зробили, помноживши число 327 спочатку на 5 одиниць, а потім - на 3 десятки і лише потім виконавши додавання отриманих добутків? Який закон множення ми застосували? (Очіку­вана відповідь: ми скористалися розподільним законом множення щодо додавання, уявивши число 35 у вигляді суми розрядних до­данків.)

 Слід приділити увагу попередженню помилок, яких частина учнів припускається, множучи на числа, які закінчуються нулями або містять нулі всередині числа. 

 Шкільна практика свідчить про те, що в учнів не виникає особливих труднощів стосовно питання про зміну добутку у разі збільшення (зменшення) одного або двох компонентів у кілька разів. Учні самостійно обгрунтовують відповідні висновки для конкретних прикладів.

 Відомо, що одночасне збільшення одного множника в кілька разів і зменшення другого в стільки ж разів ефективно використовується для усного скороченого множення на 5, 25, 125.

Перевіряють дію множення множенням шляхом перестановки множників.

 Основні закони множення, як і додавання, треба повторювати, ілюструючи їх застосування для раціоналізації обчислень. Наприклад, переставний закон дає змогу швидше обчислити добуток 42*837*269, якщо переставити співмножники 837*269*42. Переставляючи третій множник з другим, можна обчислити усно добуток: 

25*639*4 = 25*4*639 = 100*639 = 63900.
 Розподільний закон також часто використовується для раціоналізації обчислень. Наприклад, 33*125 = (32+1)*125 = 32*125 + 125 = 32(100+25) + 125 = 4000 + 125 = 4125.

          Ділення

 Дія ділення означається аналогічно дії віднімання як дія, оберена множенню: 

 Поділити число a на число b означає знайти таке число x, при множенні якого на число b дістанемо число a. 

 Це означення треба закріпити усними вправами типу: поясніть, що означає поділити число 96 на 32. Внаслідок міркувань за означенням учні складають рівність х*32=96.

 Відразу ж можна обгрунтувати рівність 0:а = 0. Вона випливає з рівності 0*а = 0. "Заборона" ділення на нуль приймається за означенням. Проте доцільність прийняття його можна пояснити відповідною рівністю, записаною на основі означення дії ділення. Справді, припустимо, що ми хочемо число 8 поділити на 0. Це означає: треба знайти таке число х, що х*0 = 8. Однак ця ріність не виконується за жодного значення х, бо за будь-якого х, добуток х*0 дорівнює 0 (це також приймається за означенням при введенні дії множення).

 З погляду ідеї дальшого розширення поняття числа корисно звернути увагу на виконуваність дії ділення у множині натуральних чисел. Вона не завжди можлива, як і дія віднімання. Наприклад, число 7 не ділиться без остачі на число 2, бо немає такого натурального числа х, при якому б виконувалась рівність х*2 = 7.

 З усіх чотирьох арифметичних дій найбільша кількість помилок, яких допускає частина учнів, припадає на дію ділення. Правило і сама дія ділення на натуральне число найгірше сприймаються у випадках, коли серед цифр частки є нулі всередині. Треба навчити учнів попередньо ще до виконання ділення визначати кількість цифр у частці.

 Слід наголосити, що під час ділення потрібно щоразу «зносити» по одній цифрі і виконувати ділення отриманого числа так, щоб оста­ча була завжди меншою від дільника. Недотримання останньої вимо­ги може призвести до грубих помилок на зразок такої:

 Завершити систематизацію відомостей про дію ділення доцільно повторенням типів простих задач, які розв'язуються цією дією. Основні з них:

• відшукання невідомого множника за відомим добутком і другим множником;
• задачі на кратне порівняння (у скільки разів одне число/величина більше/менше, ніж друге);
•  ділення на частини;
• ділення на вміщення коли з'ясовується, скільки разів одна величина вміщується в другій.

 З метою підготовки до вивчення десяткових дробів важливо звернути увагу учнів на залежність результату дії ділення від зміни діленого і дільника, зокрема сформулювати основну властивість частки.